这里略去了课程中部分线性代数基础笔记，只记录了自己理解得不够深刻的部分
张量算法的基本性质
标量、向量、矩阵和任意数量轴的张量（本小节中的“张量”指代数对象）有一些实用的属性。例如，你可能已经从按元素操作的定义中注意到，任何按元素的一元运算都不会改变其操作数的形状。同样，给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。例如，将两个相同形状的矩阵相加，会在这两个矩阵上执行元素加法。
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone() # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A + B
#(tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
# [ 4., 5., 6., 7.],
# [ 8., 9., 10., 11.],
# [12., 13., 14., 15.],
# [16., 17., 18., 19.]]),
# tensor([[ 0., 2., 4., 6.],
# [ 8., 10., 12., 14.],
# [16., 18., 20., 22.],
# [24., 26., 28., 30.],
# [32., 34., 36., 38.]]))具体而言，两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积（Hadamard product）（数学符号$\odot$）。
对于矩阵$\textbf{B} \in \textbf{R}^{m \times n}$，其中第$i$行和第$j$列的元素是$b_{ij}$。矩阵$\textbf{A}$和$\textbf{B}$的Hadamard积为：
$$ \textbf{A} \odot \textbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \dots & a_{1n} b_{1n} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \dots & a_{2n} b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & \dots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}. $$
A * B
# tensor([[ 0., 1., 4., 9.],
# [ 16., 25., 36., 49.],
# [ 64., 81., 100., 121.],
# [144., 169., 196., 225.],
# [256., 289., 324., 361.]])将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a + X, (a * X).shape
#(tensor([[[ 2, 3, 4, 5],
# [ 6, 7, 8, 9],
# [10, 11, 12, 13]],
#
# [[14, 15, 16, 17],
# [18, 19, 20, 21],
# [22, 23, 24, 25]]]),
# torch.Size([2, 3, 4]))降维
我们可以对任意张量进行的一个有用的操作是计算其元素的和。在数学表示法中，我们使用$\sum$符号表示求和。为了表示长度为$d$的向量中元素的总和，可以记为$\sum_{i=1}^dx_i$。在代码中，我们可以调用计算求和的函数：
x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()
# (tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))我们可以表示任意形状张量的元素和。例如，矩阵$\textbf{A}$中元素的和可以记为$\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}$。
A.shape, A.sum()
# (torch.Size([5, 4]), tensor(190.))默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。我们还可以指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。以矩阵为例，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），我们可以在调用函数时指定axis=0。由于输入矩阵沿0轴降维以生成输出向量，因此输入轴0的维数在输出形状中消失。
A
# tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
# [ 4., 5., 6., 7.],
# [ 8., 9., 10., 11.],
# [12., 13., 14., 15.],
# [16., 17., 18., 19.]])
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape
# (tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))简单的说，按照第一个维度（轴0、即行）求和，消去了第一个维度。
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape
# (tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))按照第二个维度（轴1、即列）求和，消去了第二个维度
A.sum(axis=[0, 1]) # Same as A.sum()
# tensor(190.)同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。
A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]
# (tensor([ 8., 9., 10., 11.]), tensor([ 8., 9., 10., 11.]))非降维求和
有时在调用函数来计算总和或均值时保持轴数不变会很有用
sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A
# tensor([[ 6.],
# [22.],
# [38.],
# [54.],
# [70.]])由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以通过广播将A除以sum_A。
A
#tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
# [ 4., 5., 6., 7.],
# [ 8., 9., 10., 11.],
# [12., 13., 14., 15.],
# [16., 17., 18., 19.]])
A.shape
# torch.Size([5, 4])
sum_A.shape
# torch.Size([5, 1])
A / sum_A
#tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
# [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
# [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
# [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
# [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
如果想沿某个轴计算A元素的累积总和，比如axis=0（按行计算），我们可以调用cumsum函数。此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。
A.cumsum(axis=0)
#tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
# [ 4., 6., 8., 10.],
# [12., 15., 18., 21.],
# [24., 28., 32., 36.],
# [40., 45., 50., 55.]])点积（Dot Product）
给定两个向量$\textbf{x},\textbf{y}\in\mathbb{R}^d$，它们的点积（dot product）$\textbf{x}^\top\textbf{y}$（或$\langle\textbf{x},\textbf{y}\rangle$），是相同位置的按元素乘积的和：$\textbf{x}^\top \textbf{y} = \sum_{i=1}^{d} x_i y_i$。
y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)
# (tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))点积在很多场合都很有用。例如，给定一组由向量$\textbf{x} \in \mathbb{R}^d$表示的值，和一组由$\textbf{w} \in \mathbb{R}^d$表示的权重。$\textbf{x}$中的值根据权重$\textbf{w}$的加权和，可以表示为点积$\textbf{x}^\top \textbf{w}$。当权重为非负数且和为1（即$\left(\sum_{i=1}^{d}{w_i}=1\right)$）时，点积表示加权平均（weighted average）。将两个向量规范化得到单位长度后，点积表示它们夹角的余弦。
范数
线性代数中最有用的一些运算符是范数（norm）。非正式地说，一个向量的范数告诉我们一个向量有多大。这里考虑的大小（size）概念不涉及维度，而是分量的大小。
在线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数$f$。给定任意向量$\textbf{x}$，向量范数要满足一些属性。第一个性质是：如果按常数因子$\alpha$缩放向量的所有元素，其范数也会按相同常数因子的绝对值缩放：
$$ f(\alpha \textbf{x}) = |\alpha| f(\textbf{x}). $$
第二个性质是我们熟悉的三角不等式:
$$ f(\textbf{x} + \textbf{y}) \leq f(\textbf{x}) + f(\textbf{y}). $$
第三个性质简单地说范数必须是非负的:
$$ f(\textbf{x}) \geq 0. $$
这是有道理的。因为在大多数情况下，任何东西的最小的大小是0。最后一个性质要求范数最小为0，当且仅当向量全由0组成。
$$ \forall i, [\textbf{x}]_i = 0 \Leftrightarrow f(\textbf{x})=0. $$
范数听起来很像距离的度量。如果你还记得欧几里得距离和毕达哥拉斯定理，那么非负性的概念和三角不等式可能会给你一些启发。事实上，欧几里得距离是一个$L_2$范数：
假设$n$维向量$\textbf{x}$中的元素是$x_1,\ldots,x_n$，其$L_2$范数是向量元素平方和的平方根：
$$ \|\textbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}, $$
其中，在$L_2$范数中常常省略下标$2$，也就是说$\|\textbf{x}\|$等同于$\|\textbf{x}\|_2$。在代码中，可以按如下方式计算向量的$L_2$范数。
u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)
# tensor(5.)在深度学习中，更经常地使用$L_2$范数的平方。也会经常遇到$L_1$范数，它表示为向量元素的绝对值之和：
$$ \|\textbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|. $$
与$L_2$范数相比，$L_1$范数受异常值的影响较小。为了计算$L_1$范数，要将绝对值函数和按元素求和组合起来。
torch.abs(u).sum()$L_2$范数和$L_1$范数都是更一般的$L_p$范数的特例：
$$ \|\textbf{x}\|_p = \left(\sum_{i=1}^n \left|x_i \right|^p \right)^{1/p}. $$
类似于向量的$L_2$范数，矩阵$\textbf{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}$的Frobenius范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根：
$$ \|\textbf{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2}. $$
Frobenius范数满足向量范数的所有性质，它就像是矩阵形向量的$L_2$范数。调用以下函数将计算矩阵的Frobenius范数。
torch.norm(torch.ones((4, 9)))
# tensor(6.)矩阵求导
TODO
1 条评论
谢谢分享，很有帮助，收藏了。