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Chap1 集合

什么叫两个集合对等

若$A,B$是非空集合,且存在双射$\phi:A\rightarrow B$,称$A$与$B$对等,记为$A\sim B$,规定$\varnothing \sim \varnothing$.

简述 Bernstein 定理

设$A,B$是两个非空集合,如果$A$对等于$B$的一个子集,$B$又对等于$A$的一个子集,那么$A$对等于$B$.

Chap2 点集

简单描述 Cantor 集的构造过程

  1. 将$[0,1]$三等分,去掉中间的开区间$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$,将剩下的两个区间$[0,\frac{1}{3},]$和$[\frac{2}{3},1]$,记为$E_1$
  2. 再把这两个闭区间三等分,去掉中间的开区间$(\frac{1}{9},\frac{2}{9})$和$(\frac{7}{9},\frac{8}{9})$,剩下$2^2$个区间,记为$E_2$
  3. $\dots$
  4. 当进行到第$n$次时,得到$2^n$个长度为$3^{-n}$的互不相交的区间,去掉了$2^{n-1}$个区间,记这$2^n$个区间为$E_n$
  5. 如此进行下去,就从$[0,1]$中去掉了可数多个无公共端点的开区间,余下的区间称为 Cantor 三分集

Chap3 测度论

给出外测度的定义

$E\in \mathbb{R}^n,E$的外测度定义为

$$ m^{\star}(E)=\inf\{\sum_{i=1}^{\infty}|I_i|:\bigcup_{i=1}^{\infty}I_i\supset E\} $$

其中 $I_i$ 是开区间

可测集的定义

设$E$为$\mathbb{R}^n$中点集,如果对任一点集$T$,都有

$$ m^{\star}(T)=m^{\star}(T\cap E)+m^{\star}(T\cap E^c) $$

则称$E$是$L$可测的,$E$称为可测集

Chap4 可测函数

给出可测函数的定义

设$f(x)$是定义在可测集$E\subset\mathbb{R}^n$上的实函数,如果对于任何有限实数$a$,$E[f>a]$都是可测集,则称$f(x)$为定义在$E 上的可测函数

简述 Luzin 定理

设$f(x)$是$E$上$a.e.$有限的可测函数,则对任意$\delta>0$,存在闭子集$F_\delta\subset E$,使$f(x)$在$F_\delta$上是连续函数,且$m(E\verb|\|F_\delta)<\delta$

Luzin 定理的逆定理

设$f(x)$是可测集$E$上的函数,则对任意$\delta>0$,存在闭子集$F_\delta\subset E$,使$f(x)$在$F_\delta$上连续且$m(E\verb|\|F_\delta)<\delta$,则$f(x)$在$E$上$a.e.$有限

Chap5 积分论

Lebegue 积分如何建立

用数学语言分步骤描述,一般可测函数的 Lebegue 积分是怎样通过简单分数的 Lebegue 积分、非负可测函数的 Lebegue 积分建立起来的

TODO

一般可测的 Lebegue 可积的定义

TODO

Levi 定理

设$E\subset \mathbb{R}^n$为可测集,$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$为$E$上的一列非负可测函数,当$x\subset E$时,对任一整数$n$有$f_n(x)\le f_{n+1}(x)$,令$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)$,$x\in E$,则

$$ \lim\limits_{n\to \infty}\int_Ef_n(x)dx=\int_Ef(x)dx $$

逐项积分定理

设$E\subset \mathbb{R}^n$为可测集,$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$为$E$上的一列非负可测函数,则 h

$$ \int_E(\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x))dx = \sum_{i=1}^{\infty}\int_Ef_n(x)dx $$

Fatou 引理

设$E\subset \mathbb{R}^n$为可测集,$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$为$E$上的一列非负可测函数,则

$$ \int_E \varliminf_{n \to \infty}f_n(x)dx \le \varliminf_{n \to \infty}\int_Ef_n(x)dx $$

Lebegue 控制收敛定理

设$E\subset \mathbb{R}^n$为可测集,$\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$为$E$上的一列非负可测函数,$F$是$E$上非负$L$可积函数,如果对于任意正整数$n$,$|f_n(x)|\le F(x)a.e.$于$E$,且$\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)a.e.$于 E,则

$$ \lim\limits_{n \to \infty}\int_E|f_n(x)-f(x)|dx = 0 \\ \lim\limits_{n \to \infty}\int_E f_n(x)dx=\int_Ef(x)dx $$

Riemann 可积的充要条件

设$f_n(x)$在$[a,b]$上有界,则$f(x)$在$[a,b]$上$R$可积的充要条件是$f(x)$在$[a,b]$上$a.e.$连续,即$f(x)$的不连续点全体成一零测度集。

  • $f(x)$的下方图形

设$f(x)$是$E\subset\mathbb{R}^n$上的非负函数,则$\mathbb{R}^{n+1}$中的点集$\{(x,z):x\in E, 0\le z \le f(x)\}$称为$f(x)$在$E$上的下方图形,记为$G(E,f)$

  • 非负可测函数的几何意义定理

设$f(x)$是$E\subset\mathbb{R}^n$上的非负函数,则

$$ f(x)是 E 上可测函数充要条件是 G(E,f)是\mathbb{R}^n 上的非负函数) \\ 当 f(x)在 E 上可测时,\int_Ef(x)dx=mG(E,f) $$

Fubini 定理

设$f(P)=f(x,y)$在$A\times B \subset \mathbb{R}^{p+q}$上可积,则对$a.e.$的$x\in A$,$f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可测,且

$$ \int_{A\times B}f(P)dP = \int_Adx\int_Bf(x,y)dy $$

Chap6 微分与不定积分

单调递增函数的 Lebegue 定理的三个结论

设$f(x)$为$[a,b]$上的单调增函数,则

$$ 1.f(x)在$[a,b]$上几乎处处存在导数 f'(x) \\ 2.f'(x)在[a,b]上可积 \\ 3.如果 f(x)为增函数,有\int_a^{b}f'(x)dx \le f(b) - f(a) $$

$[a,b]$上有界变差函数的定义

设$f(x)$为$[a,b]$上的有限函数,如果对于$[a,b]$中的一切分划$T$,使

$$ \{\sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\} $$

成一有界数集,则$f(x)$为$[a,b]$上的有界变差函数

有界变差函数的 Jordan 分解定理

在$[a,b]$上的任一有界变差函数$f(x)$都可以表示成两增函数之差

绝对连续函数的定义

设$F(x)$为$[a,b]$上的有限函数,如果对于任意的$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使对$[a,b]$中互不相交的任意有限个开区间$(a_i,b_i) i=1,2,3\cdots,n$,只要

$$ \sum_{i=1}^n(b_i-a_i)<\delta $$

就有

$$ \sum_{i=1}^n|F(b_i)-F(a_i)|<\varepsilon $$

称$F(x)$为$[a,b]$上的绝对连续函数

Last modification:June 4th, 2021 at 03:32 pm